Question

20．已知平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的点，EF与对角线AC交于P，若$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{FD}$=$\frac{2}{3}$，则$\frac{{S}_{△PAD}}{{S}_{△PCE}}$的值为（　　）

• A． $\frac{3}{7}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{18}{13}$
• D． $\frac{18}{7}$

Answer 1

分析 作辅助线，构建相似三角形，根据已知的比得出$\frac{AP}{PG}=\frac{AF}{EG}$=$\frac{6}{5}$和$\frac{PG}{PC}$=$\frac{5}{27}$，根据同高三角形面积比的关系得出△PAD、△APF、△PEC面积都与△PEG的面积有关，并得出相应等式，代入所求面积的比进行计算即可．

解答 解：过E作EH∥AD，交DC于H，交AC于G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴EH∥BC，
∴$\frac{AG}{GC}=\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，
∵DC∥AB，
∴$\frac{EG}{GH}=\frac{AG}{GC}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EG}{EH}$=$\frac{1}{3}$，
∴EG=$\frac{1}{3}$EH，
∵$\frac{AF}{FD}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{2}{5}$，$\frac{{S}_{△APF}}{{S}_{△APD}}$=$\frac{2}{5}$，
∴AF=$\frac{2}{5}$AD=$\frac{2}{5}$EH，S_△APD=$\frac{5}{2}$S_△APF，
∵AD∥EH，
∴AF∥EG，
∴$\frac{AP}{PG}=\frac{AF}{EG}$=$\frac{\frac{2}{5}EH}{\frac{1}{3}EH}$=$\frac{6}{5}$，
∴$\frac{{S}_{△APF}}{{S}_{△PEG}}$=$\frac{36}{25}$，
∵$\frac{AP}{PG}=\frac{6}{5}$，$\frac{AG}{GC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PG}{GC}$=$\frac{5}{22}$，
∴$\frac{PG}{PC}$=$\frac{5}{27}$，
∴$\frac{{S}_{△EPG}}{{S}_{△EPC}}$=$\frac{5}{27}$，
∴S_△EPC=$\frac{27}{5}$S_△EPG，
∴$\frac{{S}_{△PAD}}{{S}_{△PCE}}$=$\frac{\frac{5}{2}{S}_{APF}}{\frac{27}{5}{S}_{△EPG}}$=$\frac{5}{2}$×$\frac{5}{27}$×$\frac{36}{25}$=$\frac{2}{3}$；
故选B．

点评 本题考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质与判定，还考查了平行四边形的性质；关键是找到与所求面积相关的△EPG和△APF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方和同高两三角形面积的比等于对应底边的比得出相关三角形面积之间的关系，最后得出结论．