Question

9．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形G，如果线段OP与图形G有公共点，则称点P为关于图形G的“亲近点”．
（1）如图，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．
①在P₁（1，4），P₂（1，2），P₃（2，3），P₄（5，4）这四个点中，关于线段AB的“亲近点”是点P₂，P₃；
②线段A₁B₁∥AB，线段A₁B₁上所有的点都是关于线段AB的“亲近点”，若点A₁的横坐标是3，那么线段A₁B₁最长为6．
（2）已知点C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），⊙C与y轴相切于点D．若⊙E的半径为1，圆心E在直线l：y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$上，且⊙E上的所有点都是关于⊙C的“亲近点”，求点E的纵坐标的取值范围．
（3）以M（3，0）为圆心，2为半径作⊙M．点N是⊙M上到原点最近的点，点Q和T是坐标平面内的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“亲近点”，求△NQT周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）①根据“亲近点”的定义，观察图象可知，关于线段AB的“亲近点”是点P₂，P₃．②如图1中，题意AB∥A₁B₁，$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，由AB=2，推出A₁B₁=6，由此即可解决问题．
（2）如图2中，设⊙C与y轴X相切于点G，过点O作⊙C的切线交AB于T，切点为F．首先证明OT⊥AB，当⊙E与OT相切时，且⊙E上的所有点都是关于⊙C的“亲近点”，此时EB=$\frac{5}{2}$，E（$\frac{7}{4}$，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），当⊙E′与y轴相切时，且⊙E′上的所有点都是关于⊙C的“亲近点”，此时E（1，2$\sqrt{3}$），由此即可判断．
（3）如图，过点O作⊙M的切线OC、OD，切点为C、D．易知C（$\frac{5}{3}$，$\frac{2\sqrt{5}}{3}$），D（$\frac{5}{3}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$），由题意可知点Q、点T分别在线段OC、线段OD上时，⊙M上的所有点都是关于△NQT的“亲近点”，作点N关于直线OC的对称点N′，点N关于直线OC的对称点N″，连接N′N″，分别交OC、OD于Q、T，连接NQ，NT，此时△NTQ的周长最小，△NTQ的周长的最小值=QN+NT+QT=QN′+QT+TN″=N′N″．

解答 解：（1）①根据“亲近点”的定义，观察图象可知，关于线段AB的“亲近点”是点P₂，P₃．
故答案为P₂，P₃．

②如图1中，题意AB∥A₁B₁，$\frac{AB}{{A}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
∵AB=2，
∴A₁B₁=6，
∴A₁B₁的最大值为6．
故答案为6．


（2）如图2中，设⊙C与y轴X相切于点G，过点O作⊙C的切线交AB于T，切点为F．

∵C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
在Rt△COG和Rt∠COF中，tan∠COG=$\frac{CG}{OG}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠COG=∠COF=∠TOB=30°，
∵直线y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$与x轴交于点B（3，0），与y轴交于点A（0，3$\sqrt{3}$），
∴tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAO=30°，
∴∠ABO=60°，
∴OT⊥AB，
∴OT=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，TB=$\frac{3}{2}$，
当⊙E与OT相切时，且⊙E上的所有点都是关于⊙C的“亲近点”，此时EB=$\frac{5}{2}$，E（$\frac{7}{4}$，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$），
当⊙E′与y轴相切时，且⊙E′上的所有点都是关于⊙C的“亲近点”，此时E（1，2$\sqrt{3}$），
综上所述，满足条件的点E的纵坐标的取值范围为$\frac{5\sqrt{3}}{4}$≤y_E≤2$\sqrt{3}$．

（3）如图，过点O作⊙M的切线OC、OD，切点为C、D．易知C（$\frac{5}{3}$，$\frac{2\sqrt{5}}{3}$），D（$\frac{5}{3}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）

由题意可知点Q、点T分别在线段OC、线段OD上时，⊙M上的所有点都是关于△NQT的“亲近点”，
作点N关于直线OC的对称点N′，点N关于直线OC的对称点N″，连接N′N″，分别交OC、OD于Q、T，连接NQ，NT，此时△NTQ的周长最小，
易知N′（$\frac{1}{9}$，$\frac{4\sqrt{5}}{9}$），N″（$\frac{1}{9}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{9}$），
∴△NTQ的周长的最小值=QN+NT+QT=QN′+QT+TN″=N′N″=$\frac{8\sqrt{5}}{9}$．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的应用、直线与圆的位置关系，轴对称-最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考压轴题．