【题目】如图,等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点,M为EF的中点,AM的延长线交BC于点N,连接DM,下列结论:①AE=AF;②DF=DN;③AN=BF;④EN⊥NC;⑤AE=NC,其中正确结论的个数是( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】D
【解析】
①根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得,继而可得∠AFE=∠AEB=67.5°,即可判断①;
②求出BD=AD,∠DBF=∠DAN,∠BDF=∠ADN,证△DFB≌△DAN,即可判断②;
③根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM=22.5°,根据三角形外角性质求出∠DNM,求出∠MDN=∠DNM,即可判断③;
④求出∠BMD=45°=∠BMN,即可判断④;
⑤证明△AFB≌△CNA可得AF=CN,由AF=AE,即可判断⑤.
解:∵等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°,
∵∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°,
∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°,∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
故①正确;
∵∠BAC=90°,AC=AB,AD⊥BC,
∴∠ABC=∠C=45°,AD=BD=CD,∠ADN=∠ADB=90°,
∴∠BAD=45°=∠CAD,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°,
∴∠BFD=∠AEB=90°﹣22.5°=67.5°,
∴AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°,
∴AF=AE,AM⊥BE,
∴∠AMF=∠AME=90°,
∴∠DAN=90°﹣67.5°=22.5°=∠MBN,
在△FBD和△NAD中
,
∴△FBD≌△NAD(ASA),
∴DF=DN,AN=BF,
∴②③正确;
连接EN,
∵AE=AF,FM=EM,
∴AM⊥EF,
∴∠BMA=∠BMN=90°,
∵BM=BM,∠MBA=∠MBN,
∴△MBA≌△MBN,
∴AM=MN,
∴BE垂直平分线段AN,
∴AB=BN,EA=EN,
∵BE=BE,
∴△ABE≌△NBE,
∴∠ENB=∠EAB=90°,
∴EN⊥NC.
故④正确;
在△AFB和△CNA中,
,
∴△AFB≌△CAN(ASA),
∴AF=CN,
∵AF=AE,
∴AE=CN,
故⑤正确;
其中正确结论的个数是:①②③④⑤,共5个;
故选:D.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某区对即将参加中考的5000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查,绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分.
请根据图表信息回答下列问题:
视力 | 频数(人) | 频率 |
4.0≤x<4.3 | 20 | 0.1 |
4.3≤x<4.6 | 40 | 0.2 |
4.6≤x<4.9 | 70 | 0.35 |
4.9≤x<5.2 | a | 0.3 |
5.2≤x<5.5 | 10 | b |
(1)本次调查的样本为________,样本容量为_______;
(2)在频数分布表中,a=______,b=______,并将频数分布直方图补充完整;
(3)若视力在4.6以上(含4.6)均属正常,根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1),完全开启后,把手AM的仰角α=37°,此时把手端点A、出水口B和点落水点C在同一直线上,洗手盆及水龙头的相关数据如图2.(参考数据:sin37°=,cos37°=,tan37°=)
求把手端点A到BD的距离;
求CH的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,平面直角坐标系中有点B(-2,0)和y轴上的动点A(0,a),其中a>0,以点A为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABC,设点C的坐标为(c,d).
(1)当a=4时,则点C的坐标为( , );
(2)动点A在运动的过程中,试判断c+d的值是否发生变化?若不变,请求出其值;若发生变化,请说明理由.
(3)当a=4时,在坐标平面内是否存在点P(不与点C重合),使△PAB与△ABC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC:y=-x-6交y轴与点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G.
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式;
(2)连接GB、EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标;
(3)①在y轴上存在一点H,连接EH、HF,当点E运动到什么位置时,以A、E、F、H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E、H的坐标;
②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM的最小值.
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【题目】一个四位数,记千位数字与百位数字之和为x,十位数字与个位数字之和为y,如果x=y,那么称这个四位数为“平衡数”.
(1)最小的“平衡数”为 ;四位数A与4738之和为最大的“平衡数”,则A的值为_______;
(2)一个四位“平衡数”M,它的个位数字是千位数字a的3倍,百位数字b与十位数字之和为8,求出所有满足条件的“平衡数”M的值.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O且AB=AC,延长BC至点D,使CD=CA,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE.
(1)求证:△ABE≌△CDE;
(2)填空:
①当∠ABC的度数为 时,四边形AOCE是菱形;
②若AE=6,EF=4,DE的长为 .
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,A(-3,2),B(-4,-3),C(-1,-1).
(1)①在图中作出△ABC 关于y轴对称的△A1B1C1并写出点C1 的坐标(直接写答案):C1______;②△A1B1C1 的面积为______.
(2)在y轴上画出点 P,使 PB+PC 最小.
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