Question

17．如图，菱形ABCD中，M，N分别是AB，BC中点，MP⊥AB交CD于P，MN的延长线交直线DC于Q，若PN=PC，则∠Q=36度．

Answer 1

分析 先判断出△MBN≌△QCN，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到QC=MB=NC，最后建立方程求解即可

解答 解：∵MP⊥AB，AB∥CD，
∴MP⊥CD，
∴∠MPQ=90°，
在△MBN和△QCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BN=CN}\\{∠MNB=∠CNQ}\\{∠BMN=∠CQN}\end{array}\right.$，
∴△MBN≌△QCN，
∴QC=MB，
∵M，N分别是AB，BC中点，
∴QC=MB=NC，
∴∠DQN=∠CNQ，
∴∠QPN=2∠DQN，
∵MN=NQ，
∴∠MPQ=90°，
∴PN=NQ，
∴PN=NQ，
∴∠QPN=∠PQN，
∵PN=PC，
∴2∠DCN+∠QPN=180°，
∴4∠PQN+∠PQN=180°，
∴∠PQN=36°．
故答案为36．

点评 此题是菱形的性质，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是找角之间的关系．