Question

【题目】一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.

（发现猜想）（1）如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；.

（探索归纳）（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.

（问题解决）（3）如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°.若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？

Answer 1

【答案】（1）85°；（2）∠AOC＝；理由见解析；（3）经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.

【解析】

（1）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，求出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质算出∠BOC的度数，再计算∠AOC即可解决问题.

（2）根据∠AOD、∠AOB、∠BOD之间的关系，用m、n表示出∠BOD的度数，然后根据角平分线的性质用m、n的代数式表示出∠BOC，最后再表示出∠AOC即可解决问题.

（3）根据各角之间存在的数量关系，设经过x秒时，分别用x将∠DOA、∠COA、∠BOA表示出来，然后分四类情况讨论，根据角平分线的性质列出方程，解决即可.

（1）85°；

（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n

∴∠BOD＝n－m

∵OC为∠BOD的角平分线

∴∠BOC＝

∴∠AOC＝+m＝

（3）设经过的时间为x秒，

则∠DOA＝120°－30x；∠COA＝90°－10x；∠BOA＝20°+20x；

①当在x＝之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；

②当x在和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x2＝；

③当x在2和之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x3＝；

④当x在和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.

答：经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.