Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②AF+BE=EF；③当点E与点B重合时，MH=；其中正确结论的个数是(　　)

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可对①作出判断；如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而对③作出判断；如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可对②作出判断，进而得到答案；

解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，

∴，故①正确；

如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°，
∴CF=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，

∴当点E与点B重合时，MH=，故③正确；

如图2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2．

，

∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45°，
∴∠DBE=90°，

∴，即：，故②错误；

综上，有两个结论正确，

故选：C；