Question

【题目】如图，⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边延长线分别交于点 E、F．

（1）若∠E=∠F，求证：∠ADC=∠ABC；

（2）若∠E=∠F=40°，求∠A 的度数；

（3）若∠E=30°，∠F=40°，求∠A 的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）50°；（3）55°．

【解析】

（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD=∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，解方程即可．

（1）∠E=∠F，

∵∠DCE=∠BCF，

∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，

∴∠ADC=∠ABC；

（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，

∵∠EDC=∠ABC，

∴∠EDC=∠ADC，

∴∠ADC=90°，

∴∠A=90°﹣40°=50°；

（3）连结 EF，如图，

∵四边形 ABCD 为圆的内接四边形，

∴∠ECD=∠A，

∵∠ECD=∠1+∠2，

∴∠A=∠1+∠2，

∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，

∴2∠A+30°+40°=180°，

∴∠A =55°．