【题目】如图,函数 的图像分别与 x轴、 y轴交于 A、 B两点,点 C在 y轴上, AC平分 .
(1) 求点 A、 B的坐标;
(2) 求 的面积;
(3) 点 P在坐标平面内,且以A、 B、P为顶点的三角形是等腰直角三角形,请你直接写出点 P的坐标.
【答案】(1)A(6,0),B(0,8);(2)15;(3)使△PAB为等腰直角三角形的P点坐标为(14,6)或(-2,-6)或(8,14)或(-8,2)或(-1,1)或(7,7).
【解析】
(1)在函数解析式中分别令y=0和x=0,解相应方程,可求得A、B的坐标;
(2)过C作CD⊥AB于点D,由勾股定理可求得AB,由角平分线的性质可得CO=CD,再根据S△AOB=S△AOC+S△ABC,可求得CO,则可求得△ABC的面积;
(3)可设P(x,y),则可分别表示出AP2、BP2,分∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三种情况,分别可得到关于x、y的方程组,可求得P点坐标.
解:(1)在中,
令y=0可得0=-x+8,解得x=6,
令x=0,解得y=8,
∴A(6,0),B(0,8);
(2)如图,过点C作CD⊥AB于点D,
∵AC平分∠OAB,
∴CD=OC,
由(1)可知OA=6,OB=8,
∴AB=10,
∵S△AOB=S△AOC+S△ABC,
∴×6×8=×6×OC+×10×OC,解得OC=3,
∴S△ABC=×10×3=15;
(3)设P(x,y),则AP2=(x-6)2+y2,BP2=x2+(y-8)2,且AB2=100,
∵△PAB为等腰直角三角形,
∴有∠PAB=90°、∠PBA=90°和∠APB=90°三种情况,
①当∠PAB=90°时,则有PA2=AB2且PA2+AB2=BP2,
即,解得或,
此时P点坐标为(14,6)或(-2,-6);
②∠PBA=90°时,有PB2=AB2且PB2+AB2=PA2,
即,解得或,
此时P点坐标为(8,14)或(-8,2);
③∠APB=90°时,则有PA2=PB2且PA2+PB2=AB2,
即解得或
此时P点坐标为(-1,1)或(7,7);
综上可知使△PAB为等腰直角三角形的P点坐标为(14,6)或(-2,-6)或(8,14)或(-8,2)或(-1,1)或(7,7).
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【题目】如图,某中学校园内有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,学校计划在中间留一块边长为(a+b)米的正方形地块修建一座雕像,然后将阴影部分进行绿化.
(1)求绿化的面积.(用含a、b的代数式表示)
(2)当a=2,b=4时,求绿化的面积.
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【题目】如图,四边形ABCD中,AC⊥BD交BD于点E,点F、M分别是AB、BC的中点,BN平分∠ABE交AM于点N,AB=AC=BD,连接MF,NF
求证:(1)BN=MN;
(2)△MFN∽△BDC.
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【题目】节约用水是我们的美德,水龙头关闭不严会造成滴水,容器内盛水与滴水时间的关系用可以显示水量的容器做如图的试验,并根据试验数据绘制出如图的函数图象,结合图象解答下列问题.
()容器内原有水多少升.
()求与之间的函数关系式,并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升.
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【题目】如图,在7×7网格中,每个小正方形的边长都为1.
(1)建立适当的平面直角坐标系后,若点A(1,3)、C(2,1),则点B的坐标为______;
(2)△ABC的面积为______;
(3)判断△ABC的形状,并说明理由.
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【题目】我们知道定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,这个定理的逆命题也是真命题.
(1)请你写出这个定理的逆命题是________;
(2)下面我们来证明这个逆命题:如图,CD是△ABC的中线,CD=AB.求证:△ABC为直角三角形.请你写出证明过程.
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【题目】小明从家出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家,如图描述了小明在散步过程汇总离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的函数关系,根据图象,下列信息错误的是( )
A.小明看报用时8分钟
B.公共阅报栏距小明家200米
C.小明离家最远的距离为400米
D.小明从出发到回家共用时16分钟
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【题目】某县为了落实中央的“强基惠民工程”,计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙队先合做15天,那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元,乙队每天的施工费用为3500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成.则该工程施工费用是多少?
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于点D,DE⊥AB于点E,且AB=6cm,则△DEB的周长为( )
A.4cmB.6cmC.8cmD.以上都不对
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