Question

14．如图，已知点C（4，0）是正方形AOCB的一个顶点，直线PC交AB于点E，若E是AB的中点．
（1）求点E的坐标；
（2）求直线PC的解析式；
（3）若点P是直线PC在第一象限的一个动点，当点P运动到什么位置时，图中存在与△AOP全等的三角形？请求出P点的坐标，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质结合点C的坐标即可得出点B、C的坐标，再由点E是AB的中点即可得出点E的坐标；
（2）设直线PC的解析式为y=kx+b，由点E、C的坐标利用待定系数法即可求出直线PC的解析式；
（3）分点P与点E重合以及AP=CP两种情况考虑．①由（1）即可得出点P的坐标；②由全等三角形的性质得出相等的角，从而得出直线OP的解析式，联立OP、PC的解析式成方程组，解方程组即可求出交点P的坐标．

解答 解：（1）∵四边形AOCB是正方形，C（4，0），
∴点B（4，4），C（4，0），
∵E是AB的中点，
∴点E的坐标为（2，4）．
（2）设直线PC的解析式为y=kx+b，
将点E（2，4）、C（4，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{0=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线PC的解析式为y=-2x+8．
（3）有两种情况，如图所示．
①当点P与点E重合时，
在△OAE和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠OAE=∠CBE=90°}\\{OA=CB}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△CBE（SAS），
此时点P坐标为（2，4）；
②当AP等于CP时，
在△AOP和△COP中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{AP=CP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△COP（SSS），
∴∠AOP=∠COP=45°，
∴直线OP的解析式为y=x．
联立直线OP、PC的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-2x+8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴此时点P的坐标为（$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查了正方形的性质、待定系数法求函数解析式以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据正方形的性质找出点B的坐标；（2）利用待定系数法求出直线PC的解析式；（3）找出点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．