Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，下列说法中正确的个数是（　　）
①AC•BC=AB•CD
②AC²=AD•DB
③BC²=BD•BA
④CD²=AD•DB．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，易证得∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，又由∠A=∠A，∠B=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，则可得△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，
∵∠A=∠A，∠B=∠B，
∴△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，
∴

AC

CD

=

BC

AB

，

BC

AB

=

BD

BC

，
∴AC•AB=BC•CD，故①正确；
BC²=BD•BA，故③正确；
∴△ACD∽△CBD，
∴

AC

AD

=

AB

AC

，

CD

BD

=

AD

CD

，
∴AC²=AD•AB，CD²=AD•DB，
故②错误，
④正确．
下列说法中正确的个数是3个．
故选C．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意对应线段的对应关系与比例变形．