Question

【题目】阅读材料，回答问题
在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE，F为垂足．

（1）△CDF与△DEA是否相似？说明理由；
（2）求CF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ADE∽△FCD，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=90°，AB∥CD，

∴∠CDF=∠DEA．

又CF⊥DE，

∴∠CFD=90°，即∠CFD=∠A，

因而，△ADE∽△FCD

（2）解：由题意知，AD=CD=1，AE= ．

在直角△DEA中，有DE= = = ．

由（1）可得： = ，则CF= =

【解析】（1）利用正方形的性质和平行线的性质，由两角法证明△ADE∽△FCD；
（2）根据勾股定理及相似三角形对应边成比例求解。
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念和正方形的性质，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形才能得出正确答案．