Question

如图1，D是边长为8cm的等边△ABC的边AB上的一点，DQ⊥AB交边BC于点Q，RQ⊥BC交边AC于点R，RP⊥AC交边AB于点E，交QD的延长线于点P．
（1）求证：△PQR是等边三角形；
（2）如图2，当点E恰好与点D重合时，求出BD的长度．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）△PQR是等边△的理由就是可以求出∠DQR和∠PRQ都是60°；
（2）易证△BDQ≌△RQC≌△ADR，利用“全等三角形的对应边相等”、“Rt△中30°所对的边是斜边的一半”来解答．

解答：（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°．
又∵DQ⊥AB，
∴∠B+∠BQD=∠BQD+∠PQR=90°，
∴∠PQR=60°．
同理，得
∠PRQ=60°
∴△PQR是等边三角形；

（2）由（1）知，△PQR是等边三角形．则DQ=QR．
如图2，∵在△BDQ与△RQC中，

∠B=∠C ∠BEQ=∠CQR EQ=RQ

，
∴△BDQ≌△RQC（AAS）．
同理，△RQC≌△ADR．
∴△BDQ≌△RQC≌△ADR，
∴DB=AR，
∵RQ⊥BC，∠A=60°，
∴2AR=AD，
∴3DB=AB，
∴DB=

1

3

×8=

8

3

（cm）．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．