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如图，已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过两点C（-2，5）与D（2，-3），且与x轴相交于A、B两点，其顶点为M．
（1）求点M的坐标；
（2）求△ABM的面积；
（3）在二次函数图象上是否存在点P，使S_△PAB= $数学公式$ S_△MAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+m（m＜1）与此图象有两个公共点时，m的取值范围是什么？

解：（1）∵点C（-2，5）与D（2，-3）在二次函数y=x²+bx+c的图象上，
∴ $\text{[math]}$ ，解得： $\text{[math]}$ ，
抛物线的解析式为：y=x^2_-2x-3，
∴y=（x-1）²-4
M（1，-4）

（2）当y=0时，则x^2_-2x-3=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴S_△ABM= $\text{[math]}$ =8．

（3）设点P的坐标为（a，a²-2a-3），当点P在x轴的上方时，
∴4（a²-2a-3）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得：
a₁=4，a₂=-2，
∴P（4，5）或（-2，5），
当点P在x轴的下方时的点不存在．
∴P（4，5）或（-2，5）．

（4）如图，当直线y=x+m（m＜1）经过点A（-1，0）时

∴0=-1+m，
∴m=1，
当直线y=x+m（m＜1）经过点B（3，0）时，
∴0=3+m，
∴m=-3
∵m＜1，由图象得：
-3＜m＜1．
分析：（1）利用待定系数法将点C、点D的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出其顶点坐标M．
（2）当y=0时，求出抛物线与x轴的交点坐标就可以求出AB的值，△ABM的高就是M的纵坐标的高的绝对值．利用三角形的面积公式就可以求出其面积．
（3）设出点P的坐标为（a，b），根据条件S_△PAB= $\text{[math]}$ S_△MAB建立等量关系就可以求出P点的坐标．
（4）当直线y=x+m（m＜1）经过点A（-1，0）时，可以求出m的值，当直线y=x+m（m＜1）经过点B（3，0）时可以求出m的值，再根据图象就可以求出m的取值范围．
点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，三角形面积公式的运用，抛物线与直线的交点情况的关系．

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如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（

，

），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的

三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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（1）求此二次函数的解析式，并写出它的对称轴；
（2）若直线l：y=kx（k＞0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若直线l′：y=m与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

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（1）求b的值及这个二次函数的关系式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若点D为直线AB与该二次函数的图象对称轴的交点，则四边形DCEP能否构成平行四边形？如果能，请求出此时P点的坐标；如果不能，请说明理由．
（4）以PE为直径的圆能否与y轴相切？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由．

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（2012•衡水一模）如图，已知二次函数y=-

x2+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
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（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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