Question

【题目】如图，，点在边上，，点为边上一动点，连接，与关于所在直线对称，点分别为，的中点，连接并延长交所在直线于点，连接.当为直角三角形时，的长为__________．

Answer 1

【答案】4或

【解析】

当△A'EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A′C=A′E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A′B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；

当∠A′FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．

当△A'EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A′EF=90°时，如图1，

∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴A′C=AC=4，∠ACB=∠A′CB，

∵点D，E分别为AC，BC的中点，

∴D、E是△ABC的中位线，

∴DE//AB，

∴∠CDE=∠MAN=90°，

∴∠CDE=∠A′EF，

∴AC//A′E，

∴∠ACB=∠A′EC，

∴∠A′CB=∠A′EC，

∴A′C=A′E=4，

Rt△A′CB中，∵E是斜边BC的中点，

∴BC=2A′E=8，

由勾股定理得：AB2=BC2AC2，

∴AB==；

②当∠A′FE=90°时，如图2，

∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，

∴∠ABF=90°，

∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴∠ABC=∠CBA′=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC=4；

综上所述，AB的长为或4；

故答案为：或4.