Question

某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式为y=-

1

4

x²+8，BC所在抛物线的解析式为y=

1

4

（x-8）²，且已知B（m，4）．
（1）设P（x，y）是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；
（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．
①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；
②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？
（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE=1600（米）．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y=

1

28

（x-16）²．试求索道的最大悬空高度．

Answer 1

（1）∵P（x，y）是山坡线AB上任意一点，
∴y=-

1

4

x²+8，x≥0，
∴x²=4（8-y），x=2

8-y

∵B（m，4），∴m=2

8-y

，
∴B（4，4）（4分）

（2）在山坡线AB上，x=2

8-y

，A（0，8）
①令y₀=8，得x₀=0；令y₁=8-0.002=7.998，
得x₁=2

0.002

≈0.08944
∴第一级台阶的长度为x₁-x₀=0.08944（百米）≈894（厘米）（6分）
同理，令y₂=8-2×0.002、y₃=8-3×0.002，
可得x₂≈0.12649、x₃≈0.15492
∴第二级台阶的长度为x₂-x₁=0.03705（百米）≈371（厘米）（7分）
第三级台阶的长度为x₃-x₂=0.02843（百米）≈284（厘米）（8分）
②取点B（4，4），
又取y=4+0.002，则x=2

3.998

≈3.99900
∵4-3.99900=0.001＜0.002
∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚．（10分）

（3）D（2，7）、E（16，0）、B（4，4）、C（8，0）由图可知，
只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值（11分）
索道在BC上方时，
悬空高度y=

1

28

（x-16）²-

1

4

（x-8）²=

1

14

（-3x²+40x-96）=-

3

14

（x-

20

3

）²+

8

3

（13分）
当x=

20

3

时，ymax=

8

3

∴索道的最大悬空高度为

800

3

米．（14分）