Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，D为BC边上一点，(不与点B、C)重合，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则∠ACE的度数是__________，线段AC，CD，CE之间的数量关系是_______________.

(2)2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC边上一点(不与点B、C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AD，BD，CD之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图3，在Rt△DBC中，DB=3，DC=5，∠BDC=90°，若点A满足AB=AC，∠BAC=90°，请直接写出线段AD的长度.

Answer 1

【答案】（1）60°，AC=DC+EC（2）∠ACE=45°，BD2+CD2=2AD2，详见解析（3）AD=或AD=

【解析】

（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；

（2）根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；

（3）如图3，作AE⊥CD于E，连接AD，根据勾股定理得到BC==，推出点B，C，A，D四点共圆，根据圆周角定理得到∠ADE=45°，求得△ADE是等腰直角三角形，得到AE=DE，根据勾股定理即可得到结论．

(1)∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，

∴∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴∠ACE=∠B=60°，BD=CE，

∴BC=BD+CD=EC+CD，

∴AC=BC=EC+CD；

故答案为：60°，AC=DC+EC；

(2)BD2+CD2=2AD2，

理由如下：由(1)得，△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，

∴∠DCE=90°，

∴CE2+CD2=ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，

∴BD2+CD2=2AD2；

(3)如图3，作AE⊥CD于E，连接AD，

∵在Rt△DBC中，DB=3，DC=5，∠BDC=90°，

∴BC=，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴AB=AC=，∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠BDC=∠BAC=90°，

∴点B，C，A，D四点共圆，

∴∠ADE=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=DE，

∴CE=5DE，

∵AE2+CE2=AC2，

∴AE2+(5AE)2=17，

∴AE=1，AE=4，

∴AD=或AD=．