Question

10．如图1，等边△ABD与等边△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移k个单位到△A′B′D′的位置，得到图2，则下列说法正确的是（　　）
①阴影部分的周长为4；
②当k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，图中阴影部分为正六边形；
③当k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，图中阴影部分的面积是$\frac{5}{8}$$\sqrt{3}$．

• A． ①
• B． ①②
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质以及平移的性质，即可得到OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=2+2=4；根据A′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即可得到MO≠MN，进而得出阴影部分不是正六边形；阴影部分的面积=△A′B′D′的面积-△A′MN的面积-△OD′E的面积-△RGB′的面积，据此进行计算即可．

解答 解：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为2，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，
∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，
∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=2+2=4，
故①正确；
∵k=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A′M=A′F÷cos30°=1，MN=1．
∴MO=$\frac{1}{2}$（2-1）=$\frac{1}{2}$．
∴MO≠MN，
∴阴影部分不是正六边形，
故②错误；
阴影部分的面积=△A′B′D′的面积-△A′MN的面积-△OD′E的面积-△RGB′的面积
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2²-1²-2×（$\frac{1}{2}$）²]
=$\frac{5\sqrt{3}}{8}$，
故③正确，
故选：C．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质以及平移的性质的运用，解决问题的关键是依据平移的距离，得到小等边三角形的边长及面积．