如图.在直线AD上放置一个等腰直角三角形AOB和一个正方形BODC.∠AOB=90°.等腰直角三角形的直角边和正方形的边长均为2.⊙O1为正方形BODC的外接圆.动点P从点A出发以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止,动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动.AO1交BO于E点.P.Q运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如图，在直线AD上放置一个等腰直角三角形AOB和一个正方形BODC，∠AOB=90°，等腰直角三角形的直角边和正方形的边长均为2，⊙O₁为正方形BODC的外接圆，动点P从点A出发以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止；动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO₁交BO于E点，P、Q运动的时间为t（秒）．
（1）直接写出：⊙O₁的半径长为$\sqrt{2}$，S_△ABE=$\frac{4}{3}$；
（2）试探究点P、Q从开始运动到停止，直线PQ与⊙O₁有哪几种位置关系？并直接写出对应的运动时间t的范围；
（3）当Q点在折线AD→DC上运动时，是否存在某一时刻t使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．

分析（1）设⊙O₁的半径为R，根据三角函数的定义列方程求得R=$\sqrt{2}$，作O₁F⊥OD于F，则OF=DF，O₁F⊥OD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AO}{AF}$=$\frac{EO}{{O}_{1}F}$=$\frac{EO}{\frac{BO}{2}}$=$\frac{2}{3}$，求得BE=$\frac{2}{3}$BO=$\frac{4}{3}$，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据直线与圆的位置关系求得时间t的范围；
（3）①Q点在折线AD上运动时，过点P作PM⊥AD，垂足为点M根据等腰直角三角形的性质得到PM=t，根据三角形的面积公式即可得到结论；②Q点在折线DC上运动时，P到了BA方向，此时P，Q的位置如图，过P作PM⊥AD于M，P运动的路程为$\sqrt{2}$t，根据等腰三角形的性质得到PM=AM=4-t，Q运动的路程为2t，根据图形的面积列方程即可得到结论．

解答解：（1）设⊙O₁的半径为R，
则2=Rsin$\frac{360°}{2×4}$=Rsin45°=$\frac{\sqrt{2}R}{2}$，
∴R=$\sqrt{2}$，
作O₁F⊥OD于F，则OF=DF，O₁F⊥OD，∴AF=$\frac{2}{3}$AO，EO∥O₁F，∴△AO₁F∽△AEO，∴$\frac{AO}{AF}$=$\frac{EO}{{O}_{1}F}$=$\frac{EO}{\frac{BO}{2}}$=$\frac{2}{3}$，∴$\frac{EO}{BO}$=$\frac{1}{3}$，∴BE=$\frac{2}{3}$BO=$\frac{4}{3}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$BE•AO=$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{3}$×2=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\sqrt{2}$，$\frac{4}{3}$；

（2）直线PQ与⊙O₁有三种位置关系，分别是相离，相切，相交，
当PQ与⊙O₁相离，0＜t＜1，
当PQ与⊙O₁相切时，t=1或t=4，
当PQ与⊙O₁相交时，4＞t＞1；

（3）①Q点在折线AD上运动时，
过点P作PM⊥AD，垂足为点M
在Rt△APM中，AP=$\sqrt{2}$t，∠BAM=45°，
∴PM=t，
∴S_△APQ=$\frac{1}{2}$AQ•PM=$\frac{1}{2}$×2 t•t
S_△APQ：S_△ABE=3：4 得t²=1
∴t=1；
②Q点在折线DC上运动时，P到了BA方向，
∴OA=2，OB=2，AB=2$\sqrt{2}$，OD=OB=2，
此时P，Q的位置如图，过P作PM⊥AD于M，P运动的路程为$\sqrt{2}$t，
∴PB=$\sqrt{2}$t-AB=$\sqrt{2}$t-2$\sqrt{2}$，
∴AP=AB-PB=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，而△APM为等腰直角三角形，
∴PM=AM=4-t，
Q运动的路程为2t，
∴QD=2t-OA-OD=2t-4，
而S_△APQ=S_△APM+S_{四边形PMDQ}-S_△ADQ，
S_△APM+S_{四边形PMDQ}=$\frac{1}{2}$PM•AM+$\frac{1}{2}$（PM+QM）MD=t²-4t+8，
S_△ADQ=$\frac{1}{2}$AD•QD=4t-8，
∴S_△APQ=t²-8t+16，若S_△APQ：S_△ABE=3：4，而S_△ABE=$\frac{4}{3}$，
∴S_△APQ=1，
∴1=t²-8t+16，
∴t=3或t=5，当t=5时，Q在BC上，不符合题意，舍去，
∴t的值为1和3．

点评本题考查了圆的性质，正方形的性质，三角形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，正确的识别图形是解题的关键．

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