Question

9．如图，已知点A是双曲线$y=\frac{{\sqrt{6}}}{x}$在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线$y=\frac{k}{x}$上运动，则k的值是-3$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根据反比例函数的性质得出OA=OB，连接OC，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，根据等边三角形的性质和解直角三角形求出OC=$\sqrt{3}$OA，求出△OFC∽△AEO，相似比$\frac{OC}{OA}=\sqrt{3}$，求出面积比$\frac{{{S_△}_{OFC}}}{{{S_△}_{AEO}}}=3$，求出△OFC的面积，即可得出答案．

解答 解：∵双曲线$y=\frac{{\sqrt{6}}}{x}$的图象关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
连接OC，如图所示，
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°，
∴tan∠OAC=$\frac{OC}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\sqrt{3}$OA，
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF，
∴△OFC∽△AEO，相似比$\frac{OC}{OA}=\sqrt{3}$，
∴面积比$\frac{{{S_△}_{OFC}}}{{{S_△}_{AEO}}}=3$，
∵点A在第一象限，设点A坐标为（a，b），
∵点A在双曲线$y=\frac{{\sqrt{6}}}{x}$上，
∴S_△AEO=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴S_△OFC=$\frac{1}{2}$FC•OF=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，
∴设点C坐标为（x，y），
∵点C在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴k=xy，
∵点C在第四象限，
∴FC=x，OF=-y．
∴FC•OF=x•（-y）=-xy=-$3\sqrt{6}$，
故答案为：-3$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行 推理和计算是解此题的关键．