Question

如图，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=9，∠B=90°，BC=3

5

，tanA=

5

，P、Q分别是边AB、CD上的动点（点P不与点A、点B重合），且有BP=2CQ．
（1）求AB的长；
（2）设CQ=x，四边形PADQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以C为圆心、CQ为半径作⊙C，以P为圆心、以PA的长为半径作⊙P．当四边形PADQ是平行四边形时，试判断⊙C与⊙P的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）作DH⊥AB，在Rt△AHD中解出AH，求得AB，
（2）当CQ=x时，则PB=2x，DQ=9-x，AP=12-2x，列出函数关系式，
（3）当四边形PADQ是平行四边形时，解出两圆的半径，然后判断两圆位置关系．

解答：解：（1）作DH⊥AB，
在Rt△AHD中，
tanA=

DH

AH

=

5

∴AH=

DH

5

=

BC

5

=

3 5

5

=3（2分）
∴AB=AH+HB=AH+CD=3+9=12（3分）

（2）依题意，当CQ=x时，则PB=2x，∴DQ=9-x，AP=12-2x（4分）
∴y=

1

2

（9-x+12-2x）×3

5

=-

9 5

2

x+

63 5

2

（0＜x＜6）（7分）

（3）当四边形PADQ是平行四边形时，DQ=AP（8分）
即9-x=12-2x∴x=3PB=2x=6∴⊙C的半径CQ=3⊙P的半径PA=12-2x=6（9分）
在Rt△PBC中，∠B=90°∴PC=

PB2+BC2

=

62+(3 5 )2

=9（10分）∴CQ+PA=PC（11分）
即两圆半径之和等于圆心距
所以⊙C与⊙P外切．（12分）

点评：本题主要考查圆与圆的位置关系，还考查了解直角三角形，平行四边形的性质等知识点，综合性很强．