精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
将一张矩形纸板沿对角线剪开得到两个三角形,△ABC与△DEF,∠B=∠E=90°,如图①所示.
(1)将△ABC与△DEF按如图②方式摆放,使点B与E重合,点C、B、E、F在同一条直线上,边AB与DE重合,连接CD、FA,并延长FA交CD于G.试证:FA⊥CD
(2)在(1)所述基础上,将纸板△ACB沿直线CF向右平移,并剪去ED右侧部分,此时CA与ED的交点为A1,连接CD、FA1,并延长FA1交CD于G,如图③所示,直线FA1和CD的位置关系是
 
(直接写出)
(3)在(2)所述基础上,将纸板△A1CE绕点E逆时针旋转α度(0°<α<90°)至如图④所示位置,连接CD、FA1,CD与FA1交于点G,试判断FA1与CD的位置关系?并说明理由.
精英家教网
分析:(1)如图②,由旋转的性质、等腰直角三角形的性质求得∠3=45°,∠1=45°.因为∠2=∠4,∠3+∠5+∠4=∠1+∠3+∠4=90°,所以FG⊥CD,则FA⊥CD;
(2)FA1⊥CD.通过解Rt△CA1E、△CDE、△A1EF证得∠1=∠3,同(1)证得它们垂直.
(3)证△A1CE∽△FDE,则∠EFG=∠GDE,故∠DGF=90°,即FA1⊥CD.
解答:(1)证明:
精英家教网
如图②,∵AB=BF,∠ABF=90°,
∴∠3=45°.
又∵BC=BD,∠DBC=90°,
∴∠1=45°,
∴∠1=∠3.
∵∠2=∠4,
∴∠3+∠5+∠4=∠1+∠5+∠4=90°,
∴∠FGD=90°,即FG⊥CD,
∴FA⊥CD;

(2)FA1⊥CD.理由如下:
如图③,tan∠2=
A1E
CE
,tan∠5=
EF
DE

∵∠2=∠5,
A1E
CE
=
EF
DE

A1E
EF
=
CE
DE

tan∠1=tan∠3,
∴∠1=∠3,
∴∠3+∠4+∠5=∠1+∠4+∠5=90°,
∴∠FGD=90°,即FG⊥CD,
∴FA⊥CD;

(3)∵∠A1CE=∠FDE,∠A1EC=∠FED,
∴△A1CE∽△FDE,
∴∠EFG=∠GDE,
∴∠DGF=90°,即FA1⊥CD.
点评:本题综合考查了旋转、平移的性质,等腰直角三角形的判定与性质,以及相似三角形的判定与性质等知识点.主要培养学生的推理能力,本题具有一定的代表性,证明过程类似,透过做此题培养了学生的发散思维能力.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片(如图2),量得他们的斜边长为10cm,较小锐角为30°,再将这两张三角纸片摆成如图3的形状,但点B、C、F、D在同一条直线上,且点C与点F重合.(在图3至图6中统一用F表示)
精英家教网
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.
(1)将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置,使点B与点F重合,请你求出平移的距离;
(2)将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;
(3)将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置,AB1交DE于点H,请证明:AH﹦DH.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式,使点B、F、C、D在同一条直线上.
(1)求证:AB⊥ED;
(2)若PB=BC,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明.精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

将一张矩形纸片沿对角线剪开(如图1),得到两张三角形纸片△ABC、△DEF(如图2),量得他们的斜边长为6cm,较小锐角为30°,再将这两张三角纸片摆成如图3的形状,且点A、C、E、F在同一条直线上,点C与点E重合.△ABC保持不动,OB为△ABC的中线.现对△DEF纸片进行如下操作时遇到了三个问题,请你帮助解决.
(1)将图3中的△DEF沿CA向右平移,直到两个三角形完全重合为止.设平移距离CE为x(即CE的长),求平移过程中,△DEF与△BOC重叠部分的面积S与x的函数关系式,以及自变量的取值范围;
(2)△DEF平移到E与O重合时(如图4),将△DEF绕点O顺时针旋转,旋转过程中△DEF的斜边EF交△ABC的BC边于G,求点C、O、G构成等腰三角形时,△OCG的面积;
(3)在(2)的旋转过程中,△DEF的边EF、DE分别交线段BC于点G、H(不与端点重合).求旋转角∠COG为多少度时,线段BH、GH、CG之间满足GH2+BH2=CG2,请说明理由.
精英家教网

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,小明将一张矩形纸片沿对角线剪开,得到两张全等直角三角形纸片(如图2),量得他们的斜边长为10cm,较小锐角为30°,再将这两张三角纸片摆成如图3的形状,使点B、F、D在同一条直线上,F为公共直角顶点.
精英家教网
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了两个问题,请你帮助解决.
(1)将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图4的位置,A1F交DE于点G,请你求出线段FG的长度;
(2)将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图5的位置,AB1交DE于点H,请证明:AH=DH.
精英家教网

查看答案和解析>>

同步练习册答案