Question

14．设S=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}}$，则S的整数部分是18．

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$），利用裂项求和即可得出S的整数部分．

解答 解：∵$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＜$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}$=2（$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$），$\frac{1}{\sqrt{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$＞$\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$=2（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$），
∴S=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}}$＜1+2（$\sqrt{100}$-1）=19，
S=1+$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{100}}$＞1+2（$\sqrt{101}$-$\sqrt{2}$）≈18.27，
∴S的整数部分是18．
故答案为：18．

点评 考查了估算无理数的大小，有理化因式，根式求和，裂项求和，放缩法，涉及推理能力与计算能力，难度较大．