Question

3．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，AC=4，CD=3，则AB-AD=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用“截长补短”中的补短，补出邻补角即可出现相等角度，求出△DEC≌△BFC和△EAC≌△FAC，推出DE=BF，AE=AF，求出AB-AD=2DE，求出DE即可．

解答 解：
过C作CE⊥AD于E，CF⊥BA于F，则∠E=∠CFB=90°，
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF，
∵∠B与∠D互补，
∴∠B+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠EDC=180°，
∴∠B=∠EDC，
在△DEC和△BFC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠B}\\{∠E=∠CFB}\\{CE=CF}\end{array}\right.$
∴△DEC≌△BFC，
∴DE=BF，
∵AC平分∠DAB，
∴∠EAC=∠FAC=$\frac{1}{2}∠DAB$=$\frac{1}{2}×60°=30°$，
在△EAC和△FAC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAC=∠FAC}\\{∠E=∠AFC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$
∴△EAC≌△FAC，
∴AE=AF，
∴AB-AD=（AF+BF）-（AE-DE）=（AE+DE）-（AE-DE）=2DE，
∵在Rt△AEC中，∠E=90°，∠EAC=30°，AC=4，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=2，
在Rt△DEC中，∠E=90°，DC=3，CE=2，由勾股定理得：DE=$\sqrt{D{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AB-AD=2DE=2$\sqrt{5}$，
故答案为：$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能正确运用定理推出△DEC≌△BFC和△EAC≌△FAC是解此题的关键．