Question

小青在研究梯形ABCD时发现，若AB∥CD，∠C+∠D=90°，且E、F是上下底AB、CD的中点，则有AD²+BC²=4EF²（提示：过E作EG∥AD，EH∥BC（如图1））
（1）小青的结论对吗？完成小青的证明．
（2）若四边形ABCD中只满足∠C+∠D=90°，且E、F是AB、CD的中点（如图2），则小青的结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

考点：勾股定理,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）过点E作EG∥AD，交DF于点G，作EH∥BC，交CF于点H，可得四边形ADGE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EG=AD，DG=AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠EGH=∠D，同理可得，EH=BC，CH=BE，∠EHG=∠C，然后证明△EGH是直角三角形，且GF=FH，再利用勾股定理即可得证；
（2）过点E作EG∥AD，过点D作DG∥AE，EG与DG相交于点G，则四边形ADGE是平行四边形，过点E作EH∥BC，过点C作CH∥BE，EH与CH相交于点H，则四边形EHCB是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得EG=AD，AE=DG，EH=BC，EB=CH，再根据平行公理可得DG∥CH，连接GH交CD于点F′，根据两直线平行，内错角相等可得∠GDF′=∠HCF′，∠DGF′=∠CHF′，然后结合平行四边形的对角相等证明△EGH是直角三角形，利用“角边角”证明△DF′G和△CF′H全等，根据全等三角形对应边相等可得DF′=CF′，GF′=HF′，从而得到点F′、F重合，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GH=2EF，然后利用勾股定理即可证明．

解答：（1）小青的结论正确．
证明如下：过点E作EG∥AD，交DF于点G，作EH∥BC，交CF于点H，
∵AB∥CD，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴EG=AD，DG=AE，
又EG∥AD，
∴∠EGH=∠D，
同理可得，EH=BC，CH=BE，∠EHG=∠C，
∵∠C+∠D=90°，
∴∠GEH=180°-（∠EGH+∠EHG）=180°-（∠D+∠C）=180°-90°=90°，
∵E、F上下底AB、CD的中点，
∴AE=BE，DF=CF，
∵GF=DF-DG=DF-AE，FH=FC-CH=FC-BE，
∴GF=FH，
∴EF是Rt△EGH斜边上的中线，
∴GH=2EF，
根据勾股定理，EG²+EH²=GH²，
∴AD²+BC²=（2EF）²=4EF²，
即AD²+BC²=4EF²；

（2）成立．理由如下：
解：过点E作EG∥AD，过点D作DG∥AE，EG与DG相交于点G，过点E作EH∥BC，过点C作CH∥BE，EH与CH相交于点H，
则四边形ADGE与四边形EHCB都是平行四边形，
∴EG=AD，AE=DG，EH=BC，EB=CH，
∵DG∥AE，CH∥BE，
∴DG∥CH，
连接DH交CD于点F′，
则∠GDF′=∠HCF′，∠DGF′=∠CHF′，
∵∠C+∠D=90°，
∴∠AEG+∠BEH=∠ADG+∠BCH=∠ADC-∠GDF′+∠BCD+∠HCF′=∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠EGH=180°-（∠AEG+∠BEH）=180°-90°=90°，
∴△EGH是直角三角形，
∵E是上底AB的中点，
∴AE=BE，
∴DG=CH，
在△DF′G和△CF′H中，

∠GDF′=∠HCF′ DG=CH ∠DGF′=∠CHF′

，
∴△DF′G≌△CF′H（ASA），
∴DF′=CF′，GF′=HF′，
∵点F是下底CD的中点，
∴DF=FC，
∴点F′与点F重合，
∴GH=2EF，
在Rt△EGH中，EG²+EH²=GH²，
∴AD²+BC²=（2EF）²=4EF²，
即AD²+BC²=4EF²．

点评：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，通过作辅助线，把AD、BC转化为同一个直角三角形的两条直角边是解题的关键，（2）通过作平行四边形，把AD、BC转化为同一个直角三角形的两条直角边不容易想到，也是本题的难点．