Question

【题目】如图所示，二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（4，0），B（﹣4，﹣4），且与y轴交于点C．

（1）请求出二次函数的解析式；

（2）若点M（m，n）在抛物线的对称轴上，且AM平分∠OAC，求n的值．

（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过P作PQ∥AC，与AB上方的抛物线交于点Q，与x轴交于点H，试问：是否存在这样的点Q，使PH＝2QH？若存在，请直接出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）2﹣6；（3）存在，点Q（﹣，﹣）或（﹣，）．

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）如图，过点A作∠A的角平分线交y轴于点M，则由勾股定理得：（2﹣x）2＝x2+（2﹣4）2，解得：x＝4﹣8，即可求解；

（3）确定直线AB、直线PQ的表达式，联立求得点Q（2﹣2 ，﹣1﹣c+），由PH＝2QH，则P、Q的纵坐标之比也为2，即可求解．

解：（1）将点A、B的坐标代入函数表达式得： ，解得： ，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；

（2）如图，过点A作∠A的角平分线交y轴于点M，交二次函数对称轴于点G，

过点M作MN⊥AC于点N，二次函数对称轴交AM、x轴于点G、H，

设：OM＝x＝MN，则AM＝OA＝4，

AC＝2，OC＝2，CM＝2﹣x，CN＝CA﹣AN＝2﹣4，

则由勾股定理得：（2﹣x）2＝x2+（2﹣4）2，解得：x＝4﹣8，

∴GH∥OM，则 ，即： ，

则n＝GH＝x＝2﹣6；

（3）存在，理由：

如图：

将点B、A的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AB的表达式为：y＝x﹣2①，

同理直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，

∵PQ∥AC，则设直线PQ的表达式为：y＝﹣x﹣c（c＞0）②，

联立①②并解得：x＝2±2（舍去正值），

故点Q（2﹣2，﹣1﹣c+），

∵PH＝2QH，

∴P、Q的纵坐标之比也为2，

即﹣c﹣1＝±2（﹣1﹣c+），

解得：c＝或，

故点Q（﹣，﹣）或（﹣，）．