Question

如图，已知在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，∠B=∠DAC，且S_△ACD：S_△BCA=4：9，若AC=6．
（1）求CD的值；
（2）求tan∠BAC的值．

Answer 1

分析：（1）由已知条件先证明△ACD∽△BCA，再利用相似三角形的性质：对应边的比值相等和面积比等于相似比的平方，可求出CD的值；
（2）因为△ACD∽△BCA，所以∠BAC=∠ADC，利用等角的余切值相等可求出问题的答案．

解答：解：（1）∵∠C=∠C，∠B=∠DAC，
∴△ACD∽△BCA，
∵S_△ACD：S_△BCA=4：9，
∴

CD

AC

=

2

3

，
∵AC=6，
∴CD=4；

（2）∵△ACD∽△BCA，
∴∠BAC=∠ADC，
∴tan∠BAC=tan∠ADC=

AC

CD

=

6

4

=

3

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，常用的相似判定方法有：平行线，AA，SAS，SSS；常用到的性质：对应角相等；对应边的比值相等；面积比等于相似比的平方，在证明中还要注意图形中隐藏条件的挖掘如：本题中的公共角∠C．