Question

如图，二次函数y=ax²+bx-8（a≠0）的图象与x轴交于点A（-2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，T为抛物线的顶点．
（1）在x轴下方的抛物线上有一点D，以A，C，D，B四点为顶点的四边形ACDB是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（2）过点B作两条互相垂直的直线l₁，l₂，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以点P为圆心的圆过原点，且与直线l₁，l₂都相切？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）直线CT交x轴于点E，点F（m，n）是射线ET上的一个动点，将抛物线沿其对称轴向下平移2个单位长度，若平移后的抛物线与线段EF只有一个公共点，试分别计算实数m，n的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求出其解析式，然后在求出点C的坐标，根据等腰梯形的性质，点D与点C的纵坐标相等，列方程求解即可得到点D的坐标；
（2）根据二次函数解析式求出对称轴解析式，然后设出点P的坐标是（1，y），可以判定以两垂足与点P、B为顶点的四边形是正方形，利用点P的坐标表示出圆的半径OP以及正方形的对角线PB的长度，再根据正方形的对角线与边的关系进行求解即可；
（3）根据（1）中二次函数解析式求出点C、T的坐标，利用待定系数法求出直线CT的解析式，再根据平移写出平移后的二次函数解析式，然后两解析式联立求出交点的坐标，点F位于两交点之间（包含左边交点，不包含右边交点）即可满足平移后的抛物线与线段EF只有一个公共点，然后根据交点的坐标写出m、n的取值范围即可．

解答：解：（1）根据题意得，

4a-2b-8=0 16a+4b-8=0

，
解得

a=1 b=-2

，
∴二次函数解析式为y=x²-2x-8，
当x=0时，y=-8，
∴点C的坐标是（0，-8），
∵四边形ACDB是等腰梯形，
∴当y=-8时，x²-2x-8=-8，
解得x₁=0，x₂=2，
∴点D的坐标是（2，-8）；

（2）存在．
理由如下：如图，根据（1），
∵y=x²-2x-8，
∴二次函数图象对称轴为x=-

b

2a

=-

-2

2×1

=1，
∵直线l₁，l₂互相垂直，⊙P与直线l₁，l₂都相切，
∴过两垂足与点PB的四边形是正方形，
设点P的坐标是（1，y），
则OP=

12+y2

=

1 +y2

，
PB=

(4-1)2+(0-y)2

=

9 +y2

，
∴

9 +y2

=

2

1 +y2

，即9+y²=2（1+y²），
可得y²=7，
解得y=±

7

，
∴存在点P（1，

7

）或（1，-

7

）；

（3）∵y=x²-2x-8y=（x-1）²-9，T为抛物线的顶点，
∴点T的坐标是（1，-9），
设直线CT的解析式是y=kx+b₁，
则

b1=-8 k+b1=-9

，
解得

k=-1 b1=-8

，
∴直线CT的解析式是y=-x-8，
抛物线向下平移两个单位的解析式是y=x²-2x-8-2，
即y=x²-2x-10，
两解析式联立得，

y=-x-8 y=x2-2x-10

，
解得

x1=-1 y1=-7

，

x2=2 y2=-10

，
∴两交点的坐标是（-1，-7），（2，-10），
欲使平移后的抛物线与线段EF只有一个公共点，则点F位于两交点之间，且包含左边交点，不包含右边交点，
∴-1≤m＜2，-10＜n≤-7．

点评：本题综合考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，正方形的判定与性质，点的坐标，二次函数图象与几何变换，以及等腰梯形的性质，综合性较强，先求出抛物线的解析式是解题的关键．