Question

如图，等腰直角三角形ABC的斜边BC的长为8，平行于BC边的直线分别交AB，AC于M，N，将△AMN沿直线MN翻折，得到△A′MN，设△A′MN与△ABC的公共部分的面积为y，MN的长为x．
（1）如果A′在△ABC的内部，求出以x为自变量的函数y的解析式，并指出自变量x的取值范围；
（2）是否存在直线MN，使y的值为△ABC面积的？如果存在，则求出求出对应的x值；如果不存在，则说明理由．

Answer 1

解：（1）连接AA′，交MN于D，则：由对称性知AA′⊥BC，AD=A′D
又∵MN∥BC
∴AB=AC
∴AA′⊥BC（设与BC交于D′或延长线交于D′）
又∵MN∥BC
∴∠AMD=45°
∴AD=MD=MN=x
∴y=x²
又∵要使A′在△ABC内部
∴AA′＜AD′=BC=4
∴AD＜AA′=2
故：MN=x＜2AD=4
于是：y=x²（x＜4）；

（2）要使y的值为△ABC面积的，则点A′一定在三角形的外部．
又y=x²-×（x-4）×（2x-8）=-x²+8x-16．
∴-x²+8x-16=××8×4
解得x₁=x₂=
∴存在直线MN使y的值为△ABC面积的．
分析：（1）根据等腰直角三角形斜边上的高也是斜边上的中线，则等于斜边的一半．再根据三角形的面积公式进行计算，要求自变量的取值范围，根据A′在△ABC的内部和轴对称的性质则x的值应小于斜边的一半；
（2）如果是（1）中的情况，根据相似三角形的面积比是相似比的平方，则y的值一定小于△ABC面积的．所以应考虑点A′在三角形的外部的情况．表示出y的解析式，再列方程求解即可．
点评：此题主要是运用了等腰三角形的性质以及三角形的面积公式，能够根据不同的情况得到不同的函数关系式．