【题目】在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为矩形,OA在x轴正半轴上,OC在y轴正半轴上,且A(10,0)、C(0,8)
(1)如图1,在矩形OABC的边AB上取一点E,连接OE,将△AOE沿OE折叠,使点A恰好落在BC边上的F处,求AE的长;
(2)将矩形OABC的AB边沿x轴负方向平移至MN(其它边保持不变),M、N分别在边OA、CB上且满足CN=OM=OC=MN.如图2,P、Q分别为OM、MN上一点.若∠PCQ=45°,求证:PQ=OP+NQ;
(3)如图3,S、G、R、H分别为OC、OM、MN、NC上一点,SR、HG交于点D.若∠SDG=135°,HG=4,求RS的长.
【答案】(1)AE=5;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)设,在中,根据勾股定理列方程解出即可;
(2)作辅助线,构建两个三角形全等,证明和,由,得出结论;
(3)作辅助线,构建平行四边形和全等三角形,可得和,则,,证明和,得,设,在中,根据勾股定理列方程求出EN的长,再利用勾股定理求CE,则SR与CE相等,即可得出结论.
(1)如图1,由题意得:,,
设,则,,
在中,,
∵,
∴,
∴,
由勾股定理得:,
解得:,
∴;
(2)如图2,在PO的延长线上取一点E',使,
∵,,
∴四边形OMNC是正方形,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴;
②如图3,过C作,在x轴负半轴上取一点E′,使,得,
且,则,
过C作交OM于F,连接FE,得,则,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴
在中,,,
根据勾股定理得:,
∴,
设,则,,
则,
解得:,
∴,
根据勾股定理得:,
∴.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.
(1)求证:△DEC≌△EDA;
(2)求DF的值;
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【题目】综合与探究
如图1,在平面直角坐标系中,点是坐标原点,点在轴的正半轴上,点的坐标为,四边形是菱形,直线于点,交轴于点,连接.
(1)点的坐标是______;
(2)求直线的函数解析式;
(3)如图2,动点从点出发,沿折线方向以1个单位长度/秒的速度向终点匀速运动,设的面积为(),点的运动时间为秒,求与之间的函数关系式(要求写出自变量的取值范围)
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【题目】如图,平行四边形.
(1)如图,点在延长线上,,求证:点为中点.
(2)如图,点在中点,是延长线上一点,且,求证:.
(3)在(2)的条件下,若的延长线与交于点,试判断四边形是否为平行四边形?并证明你的结论(先补全图形再解答).
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【题目】某次考试中,某班级的数学成绩统计图如图.下列说法错误的是( )
A. 得分在70~80分之间的人数最多 B. 该班的总人数为40
C. 得分在90~100分之间的人数最少 D. 及格(≥60分)人数是26
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【题目】如图,OF是∠MON的平分线,点A在射线OM上,P,Q是直线ON上的两动点,点Q在点P的右侧,且PQ=OA,作线段OQ的垂直平分线,分别交直线OF、ON交于点B、点C,连接AB、PB.
(1)如图1,当P、Q两点都在射线ON上时,请直接写出线段AB与PB的数量关系;
(2)如图2,当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时,线段AB,PB是否还存在(1)中的数量关系?若存在,请写出证明过程;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,∠MON=60°,连接AP,设=k,当P和Q两点都在射线ON上移动时,k是否存在最小值?若存在,请直接写出k的最小值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知:如图①,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD,垂足是E,点F是点E关于AB的对称点,连接AF、BF
(1)求AE和BE的长;
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值;
(3)如图②,将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△ABF为△A′BF′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】二次函数y= ax+bx+c,自变量x 与函数y 的对应值如表:
x | ... | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | ... |
y | ... | 4 | 0 | -2 | -2 | 0 | 4 | ... |
下列说法正确的是( )
A. 抛物线的开口向下 B. 当x>-3时,y随x的增大而增大
C. 二次函数的最小值是-2 D. 抛物线的对称轴是x=-5/2
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