Question

14．如图，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）连接BC，点M是线段OC上一个动点，以每秒1个单位长度的速度从O点向C点运动，点N是线段BC上一个动点，以每秒2个单位长度的速度从C点向B点运动，当M，N有一点到达终点，运动停止．设△CMN的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式；并求当t为何值时，S最大？
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得△CMN为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求出二次函数的解析式．
（2）作DN⊥CM与D点，由勾股定理即可求出BC的长度，从而可求出∠C的正弦值，由题意可知OM=t，OC=2，CM=OC-OM=2-t，CN=2t，从而可知DN的长度，最后根据三角形的面积公式即可求出S的最大值．
（3）由sin∠C=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即可求出cos∠C=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，然后分三种情况：CN=MN，CM=MN，CN=CM进行讨论，分别求出相应的t值．

解答 解：（1）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，将A，B，C代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
二次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；

（2）如图1，
作DN⊥CM与D点，
在Rt△OBC中，由勾股定理，得
BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$
∴0＜t＜2，
由题意，得OM=t，OC=2，CM=OC-OM=2-t；
CN=2t．
由sin∠C=$\frac{BO}{BC}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
DN=CN•sin∠C=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$•2t=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t．
S_△CMN=$\frac{1}{2}$CM•DN=$\frac{1}{2}$（2-t）•$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t
化简，得S=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$t-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$t²，
S=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（t-1）²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
当t=1时，S_最大=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（3）存在某一时刻t，使得△CMN为等腰三角形
由sin∠C=$\frac{BO}{BC}$=$\frac{4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos∠C=$\frac{CO}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
①当CN=CM时，
2-t=2t，
解得t=$\frac{2}{3}$，
②当CM=MN时，如图2
过点M作ME⊥CN于点E，
∴CE=$\frac{1}{2}$CN=t
∴cos∠C=$\frac{CE}{CM}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{t}{2-t}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴t=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
③当CN=MN时，
过点N作NE⊥CM于点E，如图3，
∴CE=$\frac{1}{2}$CM=$\frac{2-t}{2}$，
∴cos∠C=$\frac{CE}{CN}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{2-t}{4t}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴t=$\frac{-10+8\sqrt{5}}{11}$
综上所述，t=$\frac{2}{3}$或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{-10+8\sqrt{5}}{11}$

点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解方程等知识，综合程度较高，考查学生综合解决问题的能力．