Question

如图，M、N是正方形ABCD边AB、CD上两动点，连接MN，将四边形BCNM沿MN折叠，使点B落在AD边上点E处、点C落在点F．
（1）求证：BE平分∠AEF；
（2）求证：C_△EDG=2AB（注：C_△EDG表示△EDG的周长）

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：证明题

分析：（1）根据翻折的性质可得BM=ME，∠MEF=∠ABC=90°，根据等边对等角可得∠MBE=∠MEB，再根据等角的余角相等求出∠AEB=∠BEF，然后根据角平分线的定义证明；
（2）过点B作BH⊥EF于H，连接BG，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AB=BH，利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=EH，再利用“HL”证明Rt△BCG和Rt△BHG全等，根据全等三角形对应边相等可得GH=CG，然后根据三角形的周长的定义证明即可．

解答：证明：（1）∵四边形BCNM沿MN折叠点B落在AD边上点E处，
∴BM=ME，∠MEF=∠ABC=90°，
∴∠MBE=∠MEB，∠MEB+∠BEF=90°，
∵∠MBE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠BEF，
∴BE平分∠AEF；

（2）如图，过点B作BH⊥EF于H，连接BG，
∵BE平分∠AEF，∠BAD=90°，
∴AB=BH，
在Rt△ABE和Rt△HBE中，

BE=BE AB=BH

，
∴Rt△ABE≌Rt△HBE（HL），
∴AE=EH，
∵AB=BC，AB=BH，
∴BC=BH，
在Rt△BCG和Rt△BHG中，

BG=BG BC=BH

，
∴Rt△BCG≌Rt△BHG（HL），
∴GH=CG，
∴C_△EDG=EG+ED+DG=EH+GH+ED+DG=AE+ED+CG+DG=AD+CD=2AB，
故C_△EDG=2AB．

点评：本题考查了翻折变换的性质，正方形的性质，角平分线的定义和角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．