Question

16．如图已知A（-$\frac{9}{4}$，0），C（0，3），B为x轴中正半轴上的点，以AB为直径的圆过C点．
（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线y=ax²+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据以AB为直径的圆过C点可得，AB为圆的直径，进而得到∠ACB=90°；
（2）通过判定△AOC∽△BOC，根据OC²=OA•OB，求得B（4，0），再把 A、B的坐标分别代入抛物线y=ax²+bx+3，得 a和b的值，进而得到抛物线的解析式；
（3）当△BOD为等腰三角形时，有OD=OB、BD=BO或DO=DB这三种可能，需要分三种情况讨论：①当OD=OB时，不可能；②当OD=DB时，可得D的坐标为$（2，\frac{3}{2}）$；③当BD=BO时，可得D（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

解答 解：（1）∵AB为圆的直径，
∴∠ACB=90°；

（2）如图，∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=90°，且∠A=∠BCO，
∴△AOC∽△BOC，
∴$\frac{OC}{OB}=\frac{OA}{OC}$，
∴OC²=OA•OB，
∵A（-$\frac{9}{4}$，0），C（0，3），
∴$AO=\frac{9}{4}$，OC=3，
∴${3^2}=\frac{9}{4}OB$，
∴OB=4，
∴B（4，0），
把 A、B的坐标分别代入抛物线y=ax²+bx+3，得 
${（-\frac{9}{4}）^2}a-\frac{9}{4}b+3=0$，4²a+4b+3=0，
联立方程组后解得：
$a=-\frac{1}{3}$，$b=\frac{7}{12}$，
∴抛物线的解析式为：$y=-\frac{1}{3}{x^2}+\frac{7}{12}x+3$；

（3）如图，当△BOD为等腰三角形时，有OD=OB、BD=BO或DO=DB这三种可能，
分三种情况讨论：
①当OD=OB时，
∵OC=3，OB=4，而D在BC上，
∴OD＜OB，
∴OD=OB没有可能；
②当OD=DB时，
如图，过D作DH⊥OB于H，则H 是OB 中点．

由DH∥CO，可得：
$OH=\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}×4=2$，
$DH=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，
∴D的坐标为$（2，\frac{3}{2}）$；
③当BD=BO时，
如图，过D作DG⊥OB于G，

∵Rt△BOC中，OB=4，OC=3，
∴由勾股定理可得，BC=5，
而BD=BO=4，
∴CD=5-4=1，
由DG∥CO得：$\frac{OG}{OB}=\frac{CD}{BC}$，即$\frac{OG}{4}=\frac{1}{5}$，
∴$OG=\frac{4}{5}$，
由DG∥CO得：$\frac{DG}{OC}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{DG}{3}=\frac{4}{5}$，
∴$DG=\frac{12}{5}$，
∴D（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$）．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理以及勾股定理的综合应用，解题时需要根据圆周角的性质求出角的度数，用待定系数法求出抛物线的解析式，根据等腰三角形的性质确定点D的坐标．解答此题的关键是画出图形，作出辅助线，结合等腰三角形进行分类讨论．