Question

5．如图，△ABC的∠BAC的平分线AD被EF垂直平分，且E、F分别在AB，AC上，求证：四边形AEDF是菱形．

Answer 1

分析 根据角平分线定义可得∠BAD=∠CAD，根据线段垂直平分线的性质可得AE=ED，AF=FD，然后根据等边对等角和等量代换证明∠FAD=∠ADE，∠EAD=∠ADF，从而证明四边形AEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得结论．

解答 证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF是AD的垂直平分线，
∴EF⊥AD，AE=ED，AF=FD，
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADE，∠EAD=∠ADF，
∴AE∥DF，AF∥ED，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵EF⊥AD，
∴四边形AEDF是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．