Question

（2012•和平区二模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AM为∠BAC的平分线，CM=2BM．下列结论：
①tan∠MAC=

2

2

；②点M到AB的距离是4；③

AC

CM

=

BC

CA

；④∠B=2∠C；⑤

CM

AB

=

2

，
其中不正确结论的序号是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：①利用特殊角的三角函数值来解答；
②通过作辅助线MD、MN构造正方形ADMN，相似三角形△CNM∽△CAB，然后利用正方形的性质、相似三角形的对应边成比例求得DM，即点M到AB的距离；
③利用角平分线定理和勾股定理求得AC=12，BC=6

5

，然后由已知条件来证明

AC

CM

=

BC

CA

是否成立；
④由③中的直角△ABC的三边的长度、三角形内角和定理，利用反证法来证明∠B=2∠C是否成立；
⑤由③中的直角△ABC的三边的长度来求

CM

AB

的值．

解答：解：如图所示：过点M作MN∥AB于点N、MD∥AC于点D．则四边形ADMN是矩形．
①tan∠MAC=tan45°=1；
故本选项错误；
②∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AM为∠BAC的平分线，
∴∠NAM=45°，
∴∠NMA=45°，
∴∠NAM=∠NMA，
∴AN=MN．
∴矩形ADMN是正方形．
∵△CNM∽△CAB，
∴

MN

AB

=

MC

BC

．
又∵AB=6，CM=2BM，
∴MN=4，
∴DM=MN=4，即点M到AB的距离是4；
故本选项正确；
③∵AM为∠BAC的平分线，AB=6，CM=2BM，
∴

AC

AB

=

CM

BM

，即

AC

6

=2，
解得，AC=12．
则在Rt△ABC中，由勾股定理知，BC=

AB2+AC2

=

62+122

=6

5

，
∴

AC

CM

=

AC

2 3 BC

=

3

2

×

12

6 5

=

3 5

5

，

BC

CA

=

6 5

12

=

5

2

，
∵

3 5

5

≠

5

2

，
∴

AC

CM

≠

BC

CA

；
故本选项错误；
④若∠B=2∠C时，∠C=30°，则BC=2AB=12，这与BC=6

5

相矛盾；故本选项错误；
⑤∵BC=6

5

，CM=2BM，
∴CM=

2

3

BC=4

5

，
∴

CM

AB

=

4 5

6

=

2 5

3

；
故本选项错误；
综上所述，错误的说法是：①③④⑤；
故答案是：①③④⑤．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质以及特殊角的三角函数值．已知一条直线平行于三角形的一边，与另两边（或延长线）相交形成的三角形与原三角形相似，且相似三角形的对应边成比例．