Question

7．如图，△ABC和△DBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=6cm，BC=4cm，将△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D₁B₁C₁，连接AC₁，BD₁．如果四边形ABD₁C₁是矩形，那么平移的距离为14cm．

Answer 1

分析 如图，作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2，则由矩形性质得∠BAC₁=90°，于是可证明Rt△BAH∽Rt△BC₁A，利用相似比可计算出BC₁=18，然后根据平移的性质得到BC=B₁C₁=4，平移的距离等于BB₁，再计算BC₁-B₁C₁即可．

解答 解：如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2，
∵四边形ABD₁C₁是矩形，
∴∠BAC₁=90°，
∵∠ABH=∠C₁BA，
∴Rt△BAH∽Rt△BC₁A，
∴$\frac{AB}{B{C}_{1}}=\frac{BH}{BA}$，即$\frac{6}{B{C}_{1}}=\frac{2}{6}$，解得BC₁=18，
∵△DBC沿射线BC平移一定的距离得到△D₁B₁C₁，
∴BC=B₁C₁=4，平移的距离等于BB₁，
∴BB₁=BC₁-B₁C₁=18-4=14（cm），
即平移的距离为14cm．
故答案为：14cm．

点评 本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质．