Question

证明：对于平行四边形，若任意一点到两对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形．

Answer 1

考点：矩形的判定

专题：证明题

分析：根据题意写出已知和求证，然后利用平行四边形的性质及矩形的判定定理进行判定即可．

解答：已知：如图所示，P是平行四边形ABCD内任意一点，且PA²+PC²=PB²+PD²；
求证：四边形ABCD是矩形；
证明：过P作EF⊥AD，分别交AD、BC于E、F，
∵平行四边形ABCD
∴AD∥BC；AD=BC
∴EF⊥BC
∴AE+DE=BF+CF…①
∵PA²=AE²+PE²；
PC²=PF²+CF²；
PB²=PF²+BF²；
PD²=PE²+DE²；
∴（AE²+PE²）+（PF²+CF²）=（PF²+BF²）+（PE²+DE²），
∴AE²+CF²=BF²+DE²；
∴AE²-DE²=BF²-CF²；
∴（AE-DE）（AE+DE）=（BF-CF）（BF+CF）
∴（AE-DE）•AD=（BF-CF）•BC
∴AE-DE=BF-CF…②
①+②得：2AE=2BF，
∴AE=BF，
又∵AD∥BC，EF⊥AD，EF⊥BC，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．

点评：本题考查了平行四边形的性质及矩形的判定，解题的关键是了解矩形的有关判定定理，难度不大．