Question

如图，抛物线y=-

1

2

x²+

5

2

x-2与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）求△ABC各顶点的坐标及△ABC的面积；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段CD上以每秒1.5个单位的速度由点D向点C运动，问：经过几秒后，PQ=AC？

Answer 1

分析：（1）可先根据抛物线的解析式求出A，B，C的坐标，求出底边AB的长，其对应高的长即是OC，再根据三角形的面积公式即可求解．
（2）根据抛物线的对称性可知：AC=BD，四边形ABDC为等腰梯形，那么本题可分两种情况进行求解：
①当四边形APQC是等腰梯形，即四边形PQDB是平行四边形时，AC=PQ，那么QD=PB，可据此来求t的值．
②当四边形ACQP是平行四边形时，AC=PQ，那么此时AP=CQ，可据此求出t的值．

解答：解：（1）在抛物线y=-

1

2

x²+

5

2

x-2上，
令y=0时，即-

1

2

x²+

5

2

x-2=0，
得x₁=1，x₂=4
令x=0时，y=-2
∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2），
S_△ABC=3．

（2）设经过t秒后，PQ=AC．
∵A（1，0）、B（4，0）
∴AB=3
∴BP=3-t
∵CD∥x轴，点C（0，-2）
∴点D的纵坐标为-2
∵点D在抛物线y=-

1

2

x²+

5

2

x-2上
∴D（5，-2）
∴CD=5
∴CQ=5-1.5t
①当AP=CQ，即四边形APQC是平行四边形时，PQ=AC．
t=5-1.5t，t=2；
②连接BD，当DQ=BP，即四边形PBDQ是平行四边形时，PQ=BD=AC．
3-t=1.5t，t=

6

5

．

点评：本题考查了二次函数的性质、三角形面积公式、等腰梯形和平行四边形的性质等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．