Question

小明参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：
（1）如图①，等腰直角三角形的直角顶点C在直线l上滑动，分别过A、B作直线l的垂线，垂足为D、E．那么，点C在滑动过程中，线段DE、AD及BE的数量关系为______；
（2）如图②，△ABC中，AP⊥BC于P，分别以AB、AC为边向外做正方形ABDE和正方形ACGF，再分别过E、F作直线AP的垂线，垂足为M、N．求证：PN=EM+PC；
（3）如图③，若把图②中的正方形ABDE和正方形ACGF改成矩形ABDE和矩形ACGF，且AB=mBD，CG=mAC，其它条件不变．请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形全等可以得出DC=BE，AD=CE，从而得出线段DE、AD及BE的数量关系．
（2）利用正方形的性质证明△MEA≌△PAB和△FNA≌△APC，从而得出结论PN=EM+PC．
（3）根据三角形相似可以得出PN=m（EM+PC），从而得出结论不成立．
解答：（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADE=∠BED=90°，
∴△ADC≌△CEB，
∴AD=CE，DC=BE．
∵DE=DC+CE，
∴DE=BE+AD．
故答案为：DE=BE+AD．

（2）证明：∵四边形ABDE和四边形ACGF都是正方形，
∴AE=AB，∠EAB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵EM⊥AP，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△EMA≌△APB，
∴EM=AP．
同理可证：△FNA≌△APC，
∴AN=PC．
∵PN=AN+AP，
∴PN=EM+PC．

（3）解：结论不成立，有PN=m（EM+PC）．
∵四边形ABDE和四边形ACGF是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵EM⊥AP，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△EMA∽△APB，
∴=m，
∴AP=mEM．
同理可得△FNA∽△APC，
∴，
∴AN=mPC，
∵PN=PA+NA，
∴PN=m（EM+PC）．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及正方形的性质的运用．