Question

6．如图，已知A点坐标为（$\sqrt{3}$，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=60°，则b的值为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$-3
• B． $\sqrt{3}$+3
• C． 2$\sqrt{3}$+3
• D． 2$\sqrt{3}$-3

Answer 1

分析 令直线y=x+b与x轴交于点C，根据直线的解析式可求出点B、C的坐标，进而得出∠BCO=45°，再通过角的计算得出∠BAO=15°，以BA为边在∠ABO内部作∠ABD=∠BAO=15°，可设AD=BD=x，得OD=OA-AD=$\sqrt{3}$-x，在Rt△BOD中根据cos∠BDO=$\frac{OD}{BD}$求得x，即可得BD的长，再根据BO=BDsin∠BDO可得答案．

解答 解：令直线y=x+b与x轴交于点C，
令y=x+b中x=0，则y=b，
∴B（0，b）；
令y=x+b中y=0，则x=-b，
∴C（-b，0）．
∴∠BCO=45°．
∵α=∠BCO+∠BAO=60°，
∴∠BAO=15°，

如图，以BA为边在∠ABO内部作∠ABD=∠BAO=15°，
设AD=BD=x，
∴OD=OA-AD=$\sqrt{3}$-x，
在Rt△BOD中，∵∠BDO=∠ABD+∠BAO=30°，
∴cos∠BDO=$\frac{OD}{BD}$，即$\frac{\sqrt{3}-x}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：x=4$\sqrt{3}$-6，即BD=4$\sqrt{3}$-6，
∴BO=BDsin∠BDO=（4$\sqrt{3}$-6）×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$-3，
故选：D．

点评 本题主要考查三角形的外角性质、特殊角的三角函数值以及一次函数的斜率的几何意义．解题时，注意挖掘隐含在题干中的已知条件∠BCA=45°及在直角三角形中构造30°的内角是解题的关键．