Question

10．已知△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DE交于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为F．
求证：BF=$\frac{1}{2}$（AB-AC）．

Answer 1

分析 先连接BD，再过D点作DM⊥AC，交AC的延长线于M点，根据中垂线、角平分线的性质来证明△BDF≌△MDC（HL），然后根据全等三角形的对应边相等推知可得．

解答 解：连接BD，CD，再过D点作DM⊥AC，交AC的延长线于M点，
∵点D在∠BAC的平分线上，DF⊥AB，DM⊥AC，
∴DF=DM．
∴在Rt△AFD与Rt△AMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DM}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL），
∴AM=AF，
∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC；
∴Rt△BDF与Rt△MDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DM}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDF≌Rt△MDC（HL），
∴BF=CM，
∴BF=AB-AF=AB-AM=AB-（AC+CM）=AB-（AC+BF），
∴BF=$\frac{1}{2}$（AB-AC）．

点评 本题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质．解答此题时是通过作辅助线BD构建全等三角形Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）来证明全等三角形的对应线段相等．