Question

如果方程x²+px+q=0的两个根是x₁、x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．
请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知方程x²+（k-2）x-2k=0的两根x₁、x₂之和x₁+x₂=1，求x₁、x₂；
（2）如果a、b满足a²+2a-2=0、b²+2b-2=0，求

a

b

+

b

a

的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）先利用根与系数的关系得-（k-2）=1，解得k=1，则原方程为x²-x-2=0，然后利用因式分解法解方程；
（2）分类讨论：当a=b，原式=2；当a≠b，于是a、b可看作一元二次方程x²+2x-2=0的根，且ab≠0，
根据根与系数的关系得a+b=-2，ab=-2，则原式=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

，然后利用整体代入的方法计算即可．

解答：解：（1）根据题意得x₁+x₂=-（k-2）=1，
解得k=1，
∴原方程为x²-x-2=0，
解得x₁=-1，x₂=2；

（2）当a=b，原式=1+1=2；
当a≠b，则a、b可看作一元二次方程x²+2x-2=0的根，且ab≠0，
∴a+b=-2，ab=-2，
∴原式=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

4-2×(-2)

-2

=-4，
即

a

b

+

b

a

的值为2或-4．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．