Question

已知：如图，⊙O与⊙A相交于C，D两点，A，O分别是两圆的圆心，△ABC内接于⊙O，弦CD交AB于点G，交⊙O的直径AE于点F，连接BD．
（1）求证：△ACG∽△DBG；
（2）求证：AC²=AG•AB；
（3）若⊙A，⊙O的直径分别为，15，且CG：CD=1：4，求AB和BD的长．

Answer 1

（1）证明：在△ACG和△DBG中，
∵∠CAG=∠BDG，∠AGC=∠DGB，
∴△ACG∽△DBG．

（2）证明：连接AD，则AC=AD．
在△ACG和△ABC中，
∵AC=AD，
∴∠ACG=∠ABC．
又∵∠CAG=∠BAC，
∴△ACG∽△ABC．
∴，即AC²=AG•AB．

（3）解：连接CE，则∠ACE=90°．
∵⊙O与⊙A相交于C，D两点，
∴圆心O，A在弦CD的垂直平分线上，即AO垂直平分弦CD．
∴CF=DF，CF⊥AE且．
∵⊙A，⊙O的直径分别为，15，
∴AC=3，AE=15．
在Rt△CFA和Rt△ECA中，
∵∠ACF=∠ADC=∠AEC，
∴Rt△CFA∽Rt△ECA．
∴，即AF=．
在Rt△AFC中，由勾股定理，得AC²=AF²+CF²，
即（3）²=3²+CF²．解得CF=6（舍去负值）．
∵CG：CD=1：4，且CD=2CF=12，
∴CG：DG=1：3，
∴CG=FG=12×=3，DG=12×=9．
在Rt△AFG中，由勾股定理，得AG²=AF²+FG²=3²+3²=18，
∴AG=3（舍去负值）．
由（2），有AC²=AG•AB，即．
解得AB=．
由（1），有△ACG∽△DBG，得．
∴BD=．
分析：（1）由圆周角定理知，∠CAG=∠BDG，由对顶角的概念知，∠AGC=∠DGB，故△ACG∽△DBG；
（2）由连心线垂直于公共弦和垂径定理知，弧AC=弧AD，由圆周角定理知∠ACG=∠ABC，而∠CAG=∠BAC，故△ACG∽△ABC．有，即AC²=AG•AB．
（3）连接CE，易得Rt△CFA∽Rt△ECA，则有，求得AE的值，由勾股定理求得CF的值后，由已知CG：CD=1：4，求得CG，DG的值，再在Rt△AFG中，由勾股定理求得AG的值，由2中的AC²=AG•AB，由1中的△ACG∽△DBG得到，代入对应的边的值，即可求得AB，BD的值．
点评：本题是圆内的一道综合题，利用了连心线与公共弦的关系，圆周角定理，垂径定理，直径对的圆周角是直角，中垂线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质求解．