Question

如图，在Rt△ACB中，∠C=90°AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2）．根据以上信息，解答下列问题：
（1）当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）设四边形PQCB的面积为y（cm²），直接写出y与t之间的函数关系式；
（3）在点P、点Q的移动过程中，如果将△APQ沿其一边所在直线翻折，翻折后的三角形与△APQ组成一个四边形，那么是否存在某一时刻t，使组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理求出AB，再根据题意知：AP=5-t，AQ=2t，当PQ∥BC，则△AQP∽△ACB，利用其对应边成比例即可求得t，当PQ⊥BC，则△APQ∽△ACB，利用其对应边成比例即可求得t．
（2）y=

3

5

t²-3t+6．
（3）若组成的四边形为菱形，则△APQ必为等腰三角形，有3种情况，①当沿AP翻折时，AQ=PQ，过Q作QD⊥AP于点D，则点D必为AP的中点，利用相似三角形对应边成比例即可求得；
②当沿PQ翻折时利用2t=5-t可解得t；
③当沿AQ翻折时，PQ=AP，过P点作PH⊥AC于H，则点H必为AQ的中点，利用相似三角形对应边成比例即可求得．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

=5，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，
当PQ∥BC，则△AQP∽△ACB，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

，
∴

2t

4

=

5-t

5

，
t=

10

7

，

10

7

＜2，
当PQ⊥AB，则△APQ∽△ACB，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，
∴

2t

5

=

5-t

4

，
∴t=

25

13

，

25

13

＜2，
∴当t=

10

7

或t=

25

13

时，
以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似；

（2）过点P作PD⊥AC于D，
∵BC⊥AC，
∴PD∥BC，
∴

PD

BC

=

PA

AB

，
即

PD

3

=

5-t

5

，
解得：PD=3-

3

5

t，
∴S_{四边形PQCB}=S_△ABC-S_△APQ=

1

2

AC•BC-

1

2

AQ•PD=

1

2

×4×3-

1

2

×2t×（3-

3

5

t）=

3

5

t²-3t+6，
∴y=

3

5

t²-3t+6；

（3）若组成的四边形为菱形，则△APQ必为等腰三角形，
①当沿AP翻折时，AQ=PQ，过Q作QD⊥AP于点D，则点D必为AP的中点，
∴Rt△ADQ∽Rt△ACB，
∴

AQ

AB

=

AD

AC

，
即

2t

5

=

5-t

2×4

，解得t=

25

21

，

25

21

＜2，
②当沿PQ翻折时，AQ=AP，2t=5-t，解得t=

5

3

＜2
③当沿AQ翻折时，PQ=AP，过P点作PH⊥AC于H，则点H必为AQ的中点，
∴Rt△AHP∽Rt△ACB，
∴

AP

AB

=

AH

AC

即

5-t

5

=

t

4

，
解得：t=

20

9

＞2（不合题意应舍去）
综上所述，当t=

25

21

或t=

5

3

时，所形成的四边形为菱形．

点评：此题涉及到的知识点较多，有勾股定理，相似三角形的判定与性质，菱形的判定，翻转变换等，综合性较强，又涉及上动点问题，给此题又增加了一定的难度，因此此题属于难题．