Question

【题目】 在正方形ABCD中．

（1）如图1，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，试判断AE与BF的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于点O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的长；

（3）如图3，点E、F分别在BC、CD上，AE、BF相交于点O，∠AOB=90°，若AB=5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5，求△ABO的周长．

Answer 1

【答案】（1）AE=BF，理由见解析；（2）FH=7；（3）△AOB的周长为5+

【解析】

（1）由四边形ABCD是正方形可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，根据余角的性质可得∠BAO=∠CBF，然后根据ASA可证△ABE≌△BCF，进而可得结论；

（2）如图4，作辅助线，构建平行四边形AMEG和平行四边形BNFH，得AM=GE，BN=FH，由（1）题的结论知△ABM≌△BCN，进而可得FH的长；

（3）根据正方形的面积和阴影部分的面积可得：空白部分的面积为25－20=5，易得△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，设AO=a，BO=b，则易得ab=5，根据勾股定理得：a2+b2=52，然后根据完全平方公式即可求出a+b，进一步即得结果．

解：（1）AE=BF，理由是：如图1，∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∵∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，

又∵∠CBF+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBF，

∴△ABE≌△BCF（ASA）．

∴AE=BF；

（2）在图2中，过点A作AM∥GE交BC于M，过点B作BN∥FH交CD于N，AM与BN交于点O′，如图4，则四边形AMEG和四边形BNFH均为平行四边形，

∴AM=GE，BN=FH，

∵∠GOH=90°，AM∥GE，BN∥FH，∴∠AO′B=90°，

由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴FH=GE=7；

（3）如图3，∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为4：5，

∴阴影部分的面积为×25=20，∴空白部分的面积为25－20=5，

由（1）得，△ABE≌△BCF，

∴△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，均为×5=，

设AO=a，BO=b，则ab=，即ab=5，

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∴a2+b2=52，

∴a2+2ab+b2=25+10=35，即，

∴a+b=，即AO+BO=，

∴△AOB的周长为5+．