Question

18．把（sinα）²记作sin²α，根据图1和图2完成下列各题．
（1）sin²A₁+cos²A₁=1，sin²A₂+cos²A₂=1，sin²A₃+cos²A₃=1；
（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin²A+cos²A=1；
（3）如图2，在Rt△ABC中证明（2）题中的猜想：
（4）已知在△ABC中，∠A+∠B=90°，且sinA=$\frac{12}{13}$，求cosA．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数和余弦函数的定义分别计算可得；
（2）由（1）中的结论可猜想sin²A+cos²A=1；
（3）由sinA=$\frac{a}{c}$、cosA=$\frac{b}{c}$且a²+b²=c²知sin²A+cos²A=（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{c}^{2}}$=1；
（4）根据直角三角形中sin²A+cos²A=1知（$\frac{12}{13}$）²+cosA²=1，据此可得答案．

解答 解：（1）sin²A₁+cos²A₁=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$=1，
sin²A₂+cos²A₂=（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）²+（$\frac{1}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
sin²A₃+cos²A₃=（$\frac{3}{5}$）²+（$\frac{4}{5}$）²=$\frac{9}{25}$+$\frac{16}{25}$=1，
故答案为：1、1、1；

（2）观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，总有sin²A+cos²A=1，
故答案为：1；

（3）在图2中，∵sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{b}{c}$，且a²+b²=c²，
则sin²A+cos²A=（$\frac{a}{c}$）²+（$\frac{b}{c}$）²=$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
即sin²A+cos²A=1；

（4）在△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠C=90°，
∵sin²A+cos²A=1，
∴（$\frac{12}{13}$）²+cosA²=1，
解得：cosA=$\frac{5}{13}$或cosA=-$\frac{5}{13}$（舍），
∴cosA=$\frac{5}{13}$．

点评 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数和余弦函数的定义是解题的关键．