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4.如图,四边形ABCD中,∠DAB=90°,AD=CD,∠BCD=∠CDA=120°,则$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{4}{3}$.

分析 延长AD、BC相交于点E,求出∠CDE=∠DCE=60°,从而判断出△CDE是等边三角形,过点D作DF⊥CE于F,设AD=CD=x,然后求出AE、DF,再求出AB、BC,最后根据三角形的面积公式列式求解即可.

解答 解:如图,延长AD、BC相交于点E,
∵∠BCD=∠CDA=120°,
∴∠CDE=∠DCE=60°,
∴△CDE是等边三角形,
∴CD=DE=CE,∠E=60°,
过点D作DF⊥CE于F,设AD=CD=x,
则AE=AD+DE=x+x=2x,
DF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x,
∵∠E=60°,∠DAB=90°,
∴AB=$\sqrt{3}$AE=2$\sqrt{3}$x,
BE=2AE=2•2x=4x,
∴BC=BE-CE=4x-x=3x,
∴S△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$x•x=$\sqrt{3}$x2
S△BDC=$\frac{1}{2}$BC•DF=$\frac{1}{2}$•3x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x2
所以,$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△BDC}}$=$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{\frac{3}{4}\sqrt{3}{x}^{2}}$=$\frac{4}{3}$.
故答案为:$\frac{4}{3}$.

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质,解直角三角形,作辅助线构造出等边三角形以及有一个角是60°的直角三角形是解题的关键,也是本题的难点.

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