Question

如图，一条直线与反比例函数y=

k

x

的图象交于A（1，5），B（5，n）两点，与x轴交于D点．

（1）如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；
（2）连接AO、BO，求△ABO的面积；
（3）如图乙，在等腰梯形OBCE中，BC∥OE，OD=CE，OE在Y轴上，过点C作CF⊥Y轴于点F，CF和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCE的面积为10时，请判断PC和PF的大小关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）①将A坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
②将B坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出B坐标，设直线AB解析式为y=ax+b，将A与B坐标代入求出a与b的值，确定出直线AB解析式，令y=0求出x的值，即可确定出D坐标；
（2）连接OA，OB，过A作AM垂直于x轴，过B作BN垂直于x轴，三角形AOB面积=三角形AOM面积+梯形ABNM面积-三角形NOB面积，求出即可；
（3）PC=PF，理由为：根据BC与OE平行，OE在y轴上，得到B与C横坐标相同，设C（5，c），由C纵坐标与B纵坐标之差c-1即为BC的长，由等腰梯形BCEO，得到OE=BC+2，表示出OE，高CF=5，利用梯形的面积表示出梯形BCEO的面积，由面积为10列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出C坐标，由FC平行于x轴，得到P纵坐标与C纵坐标相同，将P纵坐标代入反比例解析式中求出横坐标，即为PF的长为2.5，由CF-PF求出PC的长为2.5，即可确定出PF=PC．

解答：
解：（1）①将A（1，5）代入反比例函数解析式得：5=

k

1

，即k=5，
则反比例解析式为y=

5

x

；
②将B（5，n）代入反比例解析式得：n=

5

5

=1，即B（5，1），
设直线AB解析式为y=ax+b，将A与B坐标代入得：

a+b=5 5a+b=1

，
解得：

a=-1 b=6

，
∴直线AB解析式为y=-x+6，
令y=0，解得：x=6，
则D（6，0）；
（2）如图甲，连接OA，OB，过A作AM⊥x轴，过B作BN⊥x轴，
则S_△AOB=S_△AOM+S_梯形BNMA-S_△OBN
=

1

2

AM•OM+

1

2

MN•（NB+AM）-

1

2

ON•BN
=

1

2

×5×1-

1

2

×4×（1+5）-

1

2

×5×1
=12；
（3）PC=PF，理由为：
由题意设C（5，c），则BC=c-1，OE=BC+2=c-1+2=c+1，FC=5，
∵S_梯形BCEO=

1

2

FC•（BC+OE）=10，即

1

2

×5×（c+1+c-1）=10，
解得：c=2，即C（5，2），
∴P纵坐标为2，故将y=2代入反比例解析式得：2=

5

x

，即x=2.5，
∴PC=FP=2.5．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰梯形的性质，待定系数法求出函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，是一道综合性较强的中档题．