Question

如图，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′=BB′=CC′=DD′，求证：A′C′与B′D′互相垂直且相等．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：首先连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，证得四边形A′B′C′D′是正方形，利用性质得出结论即可．

解答：证明：如图：

连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
又∵AA'=BB'=CC'=DD'，
∴D'A=A'B=B'C=C'D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C，
∴D'A'=A'B'=B'C'=CD'，
∴四边形A'B'C'D'是菱形，
∴∠2=∠3，∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵∠D'A'B'=180°-（∠1+∠3）=90°，
∴四边形A'B'C'D'是正方形，
∴A′C′=B′D′，且A′C′⊥B′D′，
即A′C′与B′D′互相垂直且相等．

点评：此题考查正方形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，正确证明三角形全等是关键．