Question

20．如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和C（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式和它与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ACDB的面积；
（3）点P（2，-2）是二次函数的对称轴上一点，连接OP，找出x轴上所有点M，使得△OPM是等腰三角形，并直接写出所有点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式，令y=0代入解方程即可求它与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）先计算顶点D的坐标，再利用面积和求四边形ACDB的面积；
（3）分别以O和P为顶点画圆与x轴相交，其交点即为点M，还包括当点E与M重合时，所有点M的坐标．

解答 解：（1）根据题意，$\left\{\begin{array}{l}{0=a×（-1）^{2}-4×（-1）+c}\\{-5=a×{0}^{2}-4×0+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=x²-4x-5，
当y=0时，x²-4x-5=0，
解得：x₁=5，x₂=-1，
∵点A的坐标是（-1，0），
∴B（5，0），
答：该二次函数的解析式是y=x²-4x-5，和它与x轴的另一个交点B的坐标是（5，0）；
（2）如图1，y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴顶点坐标D（2，-9），
∴OE=2，DE=9，
∴S_{四边形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△BDE，
=$\frac{1}{2}$OA•OC+$\frac{1}{2}$（OC+DE）×OE+$\frac{1}{2}$BE•DE，
=$\frac{1}{2}$×1×5+$\frac{1}{2}$×（5+9）×2+$\frac{1}{2}$×3×9，
=2.5+14+13.5，
=30，
所以四边形ACDB面积为：30；
（3）①当OP=PN时，OE=EM=2，
∴M（4，0），
②当OP=OM时，OM=2$\sqrt{2}$，
∴M₁（-2$\sqrt{2}$，0），M₂（2$\sqrt{2}$，0），
③当OE=EP时，此时E与M重合，
∴M（2，0），
综上所述，符合条件的坐标有共有4个，
分别是M₁（4，0）M₂（2，0）M₃（-2$\sqrt{2}$，0）M₄（2$\sqrt{2}$，0），
答：x轴上所有点M的坐标是（4，0），（2，0），（-2$\sqrt{2}$，0），（2$\sqrt{2}$，0），使得△OPM是等腰三角形．

点评 本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的判定、抛物线与x轴交点的求法；难度不大，求抛物线与x轴交点时，令y=0代入即可．