Question

如图，已知四边形ABED，点C在线段BE上，连接DC，若AD∥BC，∠B=∠ADC．
（1）求证：AB=DC；
（2）设点P是△DCE的重心，连接DP，若∠B=60°，AB=DE=2，求DP的长．

Answer 1

分析：（1）要求证：AB=DC，可以转化为证明△ABC≌△CDA．
（2）易证△DCE是等边三角形，延长DP交CE于F，则F是CE的中点且DF⊥CE，在Rt△DFC中根据三角函数求解．

解答：（1）证明：连接AC．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB．              （1分）
又∵∠B=∠ADC，AC=AC，（1分）
∴△ABC≌△CDA．             （1分）
∴AB=DC．                    （1分）

（2）∵∠B=60°，
∴∠ADC=60°．
又∵AD∥BC，
∴∠DCE=∠ADC=60°．        （1分）
∵AB=DC，
∴DC=AB=DE=2．
∴△DCE是等边三角形．        （1分）
延长DP交CE于F．
∵P是△DCE的重心，
∴F是CE的中点．             （1分）
∴DF⊥CE．
在Rt△DFC中，
sin∠DCF=

DF

DC

，
∴DF=2×sin60°=

3

．       （1分）
∴DP=

2

3

3

．                （1分）

点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．